👨‍🏫 Лекция: Переменные и Циклы

В этой лекции мы разберем две фундаментальные темы в программировании: переменные и циклы. Ниже представлены задачи для закрепления материала.

---

📝 Задачи

🎯 Обязательные задачи

1. Площадь круга (Переменные): Реализуйте вычисление площади круга по радиусу, используя переменные и константы.
2. Число π (Ряд Грегори-Лейбница) (Циклы): Рассчитайте число π, используя указанный ряд.
3. Число π (Ряд Нилаканты) (Циклы): Рассчитайте число π, используя указанный ряд.

⭐ Дополнительные задачи

• Обмен значений (Переменные): Поменяйте значения двух переменных местами без использования третьей (временной) переменной.
  • Подсказка: в C# можно использовать множественное присваивание с кортежами.`

💡 Примечание для студента:

• В первую очередь сфокусируйтесь на выполнении обязательных задач.
• Задачи, отмеченные звездочкой (⭐), не являются обязательными и предназначены для дополнительной практики.
• При запуске Unit-тестов все тесты для обязательных задач должны проходить успешно.

---

📁 Структура проекта

/App
  /Variables
    /AreaOfCircle         # Обязательная задача
    /SwapVariablesExtra   # Дополнительная задача
  /Loops
    /LeibnizPi            # Обязательная задача
    /NilakanthaPi         # Обязательная задача

/App.Tests
  /Variables
    /AreaOfCircleTests
    /SwapVariablesExtraTests
  /Loops
    /LeibnizPiTests
    /NilakanthaPiTests

---

📚 Теоретическая справка: Площадь круга и ряды для вычисления π

Площадь круга

Площадь круга вычисляется по формуле:

$$ S = \pi r^2 $$

Где:

• S — площадь круга;
• r — радиус круга (неотрицательное число);
• π — математическая константа (можно получить с помощью ряда).

Замечания:

• Единицы измерения: если r в сантиметрах, S будет в квадратных сантиметрах; если r в метрах — в квадратных метрах и т.д.
• В коде обычно используют тип double, и возводят радиус в квадрат как r * r.
• Для r = 1: S = \pi; для r = 2: S = 4\pi.

---

📚 Теоретическая справка: Ряды для вычисления π

Ниже приведено описание рядов, необходимых для выполнения задач по теме "Циклы".

1. Ряд Грегори-Лейбница

Один из самых известных и элегантных рядов для вычисления π. Он представляет собой простую знакочередующуюся сумму обратных нечетных чисел. Несмотря на свою красоту, этот ряд сходится к π крайне медленно.

Формула:

Ряд выражает четверть значения π. Для получения самого числа π, результат суммы необходимо умножить на 4.

$$ \frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots $$

2. Ряд Нилаканты

Этот ряд, открытый индийским математиком Нилакантой Сомаяджи в XV веке, сходится к π значительно быстрее, чем ряд Лейбница. Он начинается с числа 3, к которому добавляется знакочередующаяся сумма дробей.

Формула:

$$ \pi = 3 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4 \cdot (-1)^{k+1}}{(2k)(2k+1)(2k+2)} $$

В развернутом виде:

$$ \pi = 3 + \frac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \frac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \dots $$