@@ -21,6 +21,7 @@ title: 环论(一)
 - 除环:非零、幺环、每一个非 0 元素都有乘法逆元
 - 域：交换除环
 - 子环：$S\subseteq R$，$S$若$<S,+,\cdot>$是环，则称$S$是$R$的子环，记作$S\leq R$
+- 幂等律：$a^2=a$, 此时称$a$ 为幂等元
 
 #### 性质
 
@@ -29,6 +30,16 @@ title: 环论(一)
 3. 一个环的加法单位元等于乘法单位元$\Longleftrightarrow R=\{0\}$
 4. 子环判定：$S\leq R \Longleftrightarrow \forall a,b \in S, a-b,ab\in S$
 5. 环$R$有乘法消去律等价于无零因子
+6. 环$R$ 的所有有乘法逆元的元素构成一个群
+7. 环有乘法交换律等价于环有平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
+8. 给一个交换群，对群中的所有元素规定乘法$ab=0$，那么这个交换群和新规定的乘法构成一个环
+9. 环中的乘法逆元是唯一的
+10. 子环的交是子环，子域的交是子域
+11. 环的乘法单位元不一定等于子环的乘法单位元，域中的乘法单位元等于子域中的乘法单位元。
+12. 线性方程组的解$\{x\in R|ax=0\}$是一个 $R$ 的子环
+13. 加法群+非 0 元素构成乘法群+乘法对加法有分配律 $\Longrightarrow$ 除环
+14. 如果一个环有幂等律$a^2=a$(将这个环称为 Boolean ring),那么这个环是交换环
+15. 一个集合上的幂集+对称差（加法）+交（乘法）$\Longrightarrow$ Boolean ring
 
 ## 理想
 
 
@@ -25,3 +25,4 @@ $<\mathbb{Z}_m,\oplus_m,\otimes_m>$是一个环，提示：使用同态映射证
 7. $\mathbb{Z}_n$的所有非零且不是零因子的元素构成一个群
 8. 欧拉定理：If $a\in \mathbb{Z}, gcd(a,n)=1$, then $a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$
 9. $m$是一个正整数，$a,b\in \mathbb{Z}_m,d=gcd(a,m)$,则$ax=b$在$\mathbb{Z}_m$中有解等价于$d|b$，且解的个数为$d$
+10. 一个非零环的特征只看乘法单位元就行。
@@ -2,90 +2,52 @@
 title: 环论(杂)
 ---
 
-## rings and fields
-
-- ring:
-
-- 加法交换群
-- 乘法半群
-- 乘法对加法有分配律。
-
-- 环同态：$\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b), \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
-
-如果没有额外的说明，$R$ 表示环，$0$ 是 $R$ 的加法单位元
-
-- 交换环：环中乘法有交换律
+## 前置
 
-- 整环：非零、有乘法单位元、无零因子、交换环
+- [[朴素集合论/初等数论]]
 
-- 除环:非零、有乘法单位元，每一个非 0 元素都有乘法逆元
-
-- field：交换除环
-
-- 环的特征（charactristic）: 对于环 $R$，如果存在一个最小的正整数 $n$，使得对于所有 $a \in R$，都有 $na = 0$，则称 $n$ 为环 $R$ 的特征。如果不存在这样的正整数 $n$，则称环 $R$ 的特征为 0。
-
-- 有序环：一个环 $R$,一个 $R$ 的非空子集 $P$,满足
-
-- $a,b\in P,a+b\in P,ab\in P$
-- $a\in p,a=0,-a\in P$有且只有一个成立。
+## rings and fields
 
-1. $0a=a0=0$
-2. $a(-b)=(-a)b=-ab, (-a)(-b)=ab$
-3. 一个环的加法单位元等于乘法单位元$\Longleftrightarrow$ $R={0}$
-4. 环同构是等价关系
-5. $R$ 的所有有乘法逆元的元素构成一个群
-6. 环有乘法交换律等价于环有平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
-7. 给一个交换群，对群中的所有元素规定乘法$ab=0$，那么这个交换群和新规定的乘法构成一个环
-8. 环中的乘法逆元是唯一的
-9. 子环的交是子环，子域的交是子域
-10. 环的乘法单位元不一定等于子环的乘法单位元，域中的乘法单位元等于子域中的乘法单位元。
-11. 子环的等价定义：对与所有的$a,b\in S$,有$(a-b) \in S; ab \in S$
-12. 线性方程组的解$\{x\in R|ax=0\}$是一个 R 的子环
-13. 加法群+非 0 元素构成乘法群+乘法对加法有分配律 $\Longrightarrow$ 除环
-14. 如果一个环有幂等律$a^2=a$(将这个环称为 Boolean ring),那么这个环是交换环
-15. 一个集合上的幂集+对称差（加法）+交（乘法）$\Longrightarrow$ Boolean ring
-16. $x$ 是$Z_n$中的零因子$\Longleftrightarrow$x 与 n 不互素.
-17. $Z_p$是无零因子环
-18. 环无零因子$\Longleftrightarrow$环有（乘法）消去律。
-19. 域是整环
-20. 有限整环是域
-21. $Z_p$是域
-22. 一个非零环的特征只看乘法单位元就行。
-23. 除环只有 0 和 1 两个幂等元
-24. 整环的交是整环
-25. 有限非零无零因子环是除环
-26. 整环和除环的幂等元只有 0 和 1,即 1 是整环和除环的唯一非零幂等元。因此整环和除环的乘法单位元等于子结构的乘法单位元
-27. 整环的特征等于子结构的特征，除环的特征等于子结构的特征。
-28. 整环的特征是 0 或素数
-29. 费马小定理：$a\in Z$,p is prime not dividing a, then $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$.
-30. $a^p \equiv a \mod p$, if p is prime
-31. Euler's Theorem: For any integer a and a positive integer n that is coprime to a, $a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n$, where $\phi$ is Euler's totient function.
-32. 一个整环同构于其商域的一个子环
-33. 对于一个包含整环 $D$ 的域 $F$,则 $D$ 同构与 $F$ 的一个子域
-34. 一个环 $R$ 上的多项式集合 $R[x]$仍然构成一个环，且如果 $R$ 可交换，则 $R[x]$也可交换, $R$ 非零且有单位元，则 $R[x]$也有单位元.
-35. $F$ 是 $E$ 的一个子域，$\alpha$是 $E$ 的一个元素，定义 evaluation 映射$\Phi_\alpha:F[x]\rightarrow E$, $\Phi_\alpha(f) = f(\alpha)$,估值映射是一个同态映射
-36. 如果 $D$ 是一个整环，则 $D[x]$也是一个整环。$D[x]$的乘法可逆元素只有$1$
-37. $R$ 到 $R$ 上的所有函数组成的集合,再定义加法和乘法：$(f+g)(r)=f(r)+g(r)$，$(f \cdot g)(r) = f(r) \cdot g(r)$,那么$<R^R,+,\cdot>$是一个环
-38. 域上多项式的带余数除法：$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$，$r(x)$的阶小于 $g(x)$的阶
-39. $a\in F$是$f(x)\in F[x]$的零点 $\Longleftrightarrow$ $(x-a)$是 $f(x)$的因子
-40. 阶数为 $n$ 非零多项式$f(x)\in F[x]$至多有 $n$ 个零点
-41. 一个域 $F$ 的非零元素构成的乘法群$<F^*,\cdot>$的有限子群是循环群。
-42. 阶数为 2 或 3 的$f(x)\in F[x]$可约等价于 f(x)有零点
-43. 有序环 $R$ 中非零元素的平方为正值，$R$ 的 characteristic is 0,R 无零因子
-44. 复数环上不能定义序，有限环上不能定义序
-45. 序的等价定义：$a<b,a=b,a>b$有且只有一个成立； 如果$a<b$且$b<c$，则$a<c$；$b<c$，则 $a+b<a+c$
-46. 同构映射会诱导一个序
-47. $D$ 是一个整环，$P$ 是 $D$ 上的正数集合，$F$ 是 $D$ 的商群，那么，$P'=\{x\in F|x=[(a,b)],a,b\in D,and\ ab\in P\}$是良定义的序，且$P'$是$F$上的一个正数集合，且序与 $D$ 上的序一致，且 $P'$是唯一满足这中性质的序
-48. $R$ 上定义一个正数集合，$S$ 是 $R$ 的子环，那么$S\cap P$是子环 $R$ 上的一个正数集合
-49. R 是一个有序环，P 是 R 里的正数集，根据 P 定义小于$<$，那么有
+1. 环同构是等价关系
+6.  $x$ 是$\mathbb{Z}_n$中的零因子$\Longleftrightarrow$ $x$ 与 $n$ 不互素.
+7.  若$p$是素数，则$\mathbb{Z}_p$是无零因子环
+8.  有限整环是域
+9.  $\mathbb{Z}_p$是域
+10. 除环只有 0 和 1 两个幂等元
+11. 整环的交是整环
+12. 有限非零无零因子环是除环
+13. 整环和除环的幂等元只有 0 和 1,即 1 是整环和除环的唯一非零幂等元。因此整环和除环的乘法单位元等于子结构的乘法单位元
+14. 整环的特征等于子结构的特征，除环的特征等于子结构的特征。
+15. 整环的特征是 0 或素数
+16. 费马小定理：$a\in Z$,p is prime not dividing a, then $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$.
+17. $a^p \equiv a \mod p$, if p is prime
+18. Euler's Theorem: For any integer a and a positive integer n that is coprime to a, $a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n$, where $\phi$ is Euler's totient function.
+19. 一个整环同构于其商域的一个子环
+20. 对于一个包含整环 $D$ 的域 $F$,则 $D$ 同构与 $F$ 的一个子域
+21. 一个环 $R$ 上的多项式集合 $R[x]$仍然构成一个环，且如果 $R$ 可交换，则 $R[x]$也可交换, $R$ 非零且有单位元，则 $R[x]$也有单位元.
+22. $F$ 是 $E$ 的一个子域，$\alpha$是 $E$ 的一个元素，定义 evaluation 映射$\Phi_\alpha:F[x]\rightarrow E$, $\Phi_\alpha(f) = f(\alpha)$,估值映射是一个同态映射
+23. 如果 $D$ 是一个整环，则 $D[x]$也是一个整环。$D[x]$的乘法可逆元素只有$1$
+24. $R$ 到 $R$ 上的所有函数组成的集合,再定义加法和乘法：$(f+g)(r)=f(r)+g(r)$，$(f \cdot g)(r) = f(r) \cdot g(r)$,那么$<R^R,+,\cdot>$是一个环
+25. 域上多项式的带余数除法：$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$，$r(x)$的阶小于 $g(x)$的阶
+26. $a\in F$是$f(x)\in F[x]$的零点 $\Longleftrightarrow$ $(x-a)$是 $f(x)$的因子
+27. 阶数为 $n$ 非零多项式$f(x)\in F[x]$至多有 $n$ 个零点
+28. 一个域 $F$ 的非零元素构成的乘法群$<F^*,\cdot>$的有限子群是循环群。
+29. 阶数为 2 或 3 的$f(x)\in F[x]$可约等价于 f(x)有零点
+30. 有序环 $R$ 中非零元素的平方为正值，$R$ 的 characteristic is 0,R 无零因子
+32. 复数环上不能定义序，有限环上不能定义序
+33. 序的等价定义：$a<b,a=b,a>b$有且只有一个成立； 如果$a<b$且$b<c$，则$a<c$；$b<c$，则 $a+b<a+c$
+34. 同构映射会诱导一个序
+35. $D$ 是一个整环，$P$ 是 $D$ 上的正数集合，$F$ 是 $D$ 的商群，那么，$P'=\{x\in F|x=[(a,b)],a,b\in D,and\ ab\in P\}$是良定义的序，且$P'$是$F$上的一个正数集合，且序与 $D$ 上的序一致，且 $P'$是唯一满足这中性质的序
+36. $R$ 上定义一个正数集合，$S$ 是 $R$ 的子环，那么$S\cap P$是子环 $R$ 上的一个正数集合
+37. R 是一个有序环，P 是 R 里的正数集，根据 P 定义小于$<$，那么有
     - $a\in P,then\ 0 < a$
     - $a,b \in P,ac=bd$,那么要么$c=d=0$,要么$cd\in P$
     - $a<b\rightarrow -b <-a$
     - $a<0,0<b,\rightarrow ab<0$
     - 如果 $R$ 是域，那么$0<a,0<b\rightarrow 0<a/b$
     - 如果 $R$ 是域，那么$0<a<1\rightarrow 1<1/a$
     - 如果 $R$ 是域，那么$-1<a<0\rightarrow 1/a<-1$
-50. 在一个全序集上，若每个有上界的子集都有最小上界，则每个有下界的子集都有最大下界。
+38. 在一个全序集上，若每个有上界的子集都有最小上界，则每个有下界的子集都有最大下界。
 
 ## ideal and factor ring