refine Lebesgue integral document: add clarification on the integrability of functions with respect to signed measures

Author: zeroDtree

content/测度论与概率论/Lebesgue-integral.md

@@ -122,4 +122,3 @@ $\mathbf{f}$可积 $\iff$ $Re\mathbf{f},Im\mathbf{f}$都可积$\iff |\mathbf{f}|
     (3) $f$ 可积当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \mu(A_n) < \infty$.
 20. 积分存在可以传递到任意可测子集：若 $\int_{\Omega} f d\mu$ 存在，则对任意 $A \in \mathcal{F}$，$\int_{A} f d\mu$ 也存在。
 21. 可积性也可以传递到任意可测子集：若 $f$ 在 $\Omega$ 上可积，则对任意 $A \in \mathcal{F}$，$f$ 在 $A$ 上也可积。
-22. 设 $\nu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的符号测度，$f \in \overline{\mathcal{L}}(\Omega, \mathcal{F})$，若 $f$ 关于 $\nu$ 的积分存在（相应地，可积），则 $\forall A \in \mathcal{F}$，$f I_A$ 关于 $\nu$ 的积分也存在（相应地，可积）。

content/测度论与概率论/符号测度.md

@@ -18,7 +18,7 @@ title: 符号测度与 Hahn-Jordan 分解
   1.  there exists at least one $A \in \mathcal{F}$ such that $-\infty < \nu(A) < \infty$;
   2.  (countable additivity or $\sigma$-additivity) If $A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{F}$ are pairwise disjoint, then
       $$
-      \nu \left( \biguplus_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n). \tag{8.3}
+      \nu \left( \biguplus_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n).
       $$
 
 If $-\infty < \nu(A) < \infty$ for all $A \in \mathcal{F}$, then $\nu$ is called a real-valued signed measure.
@@ -65,3 +65,4 @@ $\forall A \in \mathcal{F}$, 注意到 $|\nu|(A) < \infty \Leftrightarrow \nu^+(
     如果 $\nu(P) = \infty$, 那么 $\nu(N) > -\infty$, 从而 $\nu^- (\Omega) < \infty$; 反之, 如果 $\nu(N) = -\infty$, 那么 $\nu(P) < \infty$, 从而 $\nu^+ (\Omega) < \infty$. 不管是哪一种情形, $\nu^+, \nu^-$ 中至少有一个有限测度. $\square$
 11. **命题** 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $(P_1, N_1)$ 及 $(P_2, N_2)$ 都是 $\nu$ 的 Hahn 分解, 则 $\forall A \in \mathcal{F}$, 有
     $$\nu(A \cap P_1) = \nu(A \cap P_2), \quad \nu(A \cap N_1) = \nu(A \cap N_2).$$ 这表明, $\nu^+$ 和 $\nu^-$ 都不依赖于 Hahn 分解的选择, 即 Jordan 分解是唯一的.
+12. 设 $\nu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的符号测度，$f \in \overline{\mathcal{L}}(\Omega, \mathcal{F})$，若 $f$ 关于 $\nu$ 的积分存在（相应地，可积），则 $\forall A \in \mathcal{F}$，$f I_A$ 关于 $\nu$ 的积分也存在（相应地，可积）。