Add new markdown file on divergence, defining vector and matrix divergence, and outlining key properties including linearity, product rule, and relationships with gradients and Jacobians for enhanced mathematical understanding.

Author: zeroDtree

content/机器学习/散度.md

@@ -0,0 +1,92 @@
+---
+title: 散度
+---
+
+## 定义
+
+设 $\mathbf F(\mathbf x)=(F_1,\dots,F_d)$ 为 $d$ 维向量场。
+
+$$
+\nabla\cdot\mathbf F
+=
+\sum_{i=1}^d \frac{\partial F_i}{\partial x_i}
+$$
+
+**矩阵散度**：设 $A(\mathbf x)=(A_{ij})$ 为矩阵场，其散度为向量场
+
+$$
+(\nabla\cdot A)_i
+=
+\sum_j \frac{\partial A_{ij}}{\partial x_j}
+$$
+
+以下性质对矩阵散度与向量散度都成立。
+
+## 性质
+
+以下设分量在相应点处可微；$a,b\in\mathbb{R}$ 为常数，$\partial_i:=\partial/\partial x_i$。
+
+1. **线性性**
+
+$$
+\nabla\cdot(a\mathbf F+b\mathbf G)
+=
+a\nabla\cdot\mathbf F
++
+b\nabla\cdot\mathbf G
+$$
+
+**证**：
+
+$$
+\nabla\cdot(a\mathbf F+b\mathbf G)
+=\sum_{i=1}^d \partial_i(aF_i+bG_i)
+=\sum_{i=1}^d \bigl(a\partial_i F_i+b\partial_i G_i\bigr)
+=a\sum_{i=1}^d \partial_i F_i+b\sum_{i=1}^d \partial_i G_i
+=a\nabla\cdot\mathbf F+b\nabla\cdot\mathbf G.
+$$
+
+2. **乘积法则**（$f$ 为标量场）
+
+$$
+\nabla\cdot(f\mathbf F)
+=
+\nabla f\cdot\mathbf F
++
+f\nabla\cdot\mathbf F
+$$
+
+**证**：由标量对向量乘积的分量求导法则 $\partial_i(fF_i)=(\partial_i f)F_i+f(\partial_i F_i)$，
+
+$$
+\nabla\cdot(f\mathbf F)
+=\sum_{i=1}^d \partial_i(fF_i)
+=\sum_{i=1}^d (\partial_i f)F_i+\sum_{i=1}^d f(\partial_i F_i)
+=(\nabla f)\cdot\mathbf F+f\nabla\cdot\mathbf F.
+$$
+
+3. **梯度的散度 = Laplacian**
+
+$$
+\nabla\cdot(\nabla f)=\Delta f=\sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
+$$
+
+**证**：梯度 $(\nabla f)_i=\partial_i f$，故
+
+$$
+\nabla\cdot(\nabla f)
+=\sum_{i=1}^d \partial_i\bigl((\nabla f)_i\bigr)
+=\sum_{i=1}^d \partial_i^2 f
+=\Delta f.
+$$
+
+4. **与 Jacobian**：$\nabla\cdot\mathbf F=\mathrm{Tr}(J_{\mathbf F})$，其中 $(J_{\mathbf F})_{ij}=\partial_j F_i$。
+
+**证**：由迹的定义，
+
+$$
+\mathrm{Tr}(J_{\mathbf F})
+=\sum_{i=1}^d (J_{\mathbf F})_{ii}
+=\sum_{i=1}^d \partial_i F_i
+=\nabla\cdot\mathbf F.
+$$