@@ -13,12 +13,12 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "计算机/clash.md",
+                "file": "数学分析/级数.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "clash"
+              "title": "级数"
             }
           }
         ]
@@ -94,7 +94,7 @@
             "state": {
               "type": "backlink",
               "state": {
-                "file": "计算机/clash.md",
+                "file": "数学分析/级数.md",
                 "collapseAll": false,
                 "extraContext": false,
                 "sortOrder": "alphabetical",
@@ -104,7 +104,7 @@
                 "unlinkedCollapsed": true
               },
               "icon": "links-coming-in",
-              "title": "Backlinks for clash"
+              "title": "Backlinks for 级数"
             }
           },
           {
@@ -184,6 +184,15 @@
   },
   "active": "f1f064fa641803df",
   "lastOpenFiles": [
+    "数学分析/real-number.md",
+    "数学分析/index.md",
+    "数学分析/derivate.md",
+    "数学分析/funct-limit.md",
+    "测度论与概率论/Lebesgue-integral.md",
+    "测度论与概率论/index.md",
+    "测度论与概率论/dependency_graph.md",
+    "测度论与概率论/almost-everywhere.md",
+    "计算机/clash.md",
     "计算机/blog.md",
     "计算机/bash.md",
     "计算机/automata.md",
@@ -200,15 +209,6 @@
     "故事/神圣叙事.md",
     "故事/纯粹理性批判.md",
     "故事/你变了.md",
-    "故事/判断力批判.md",
-    "故事/固执.md",
-    "故事/安全.md",
-    "故事/安全与道德.md",
-    "故事/实践理性批判.md",
-    "测度论与概率论/三大积分收敛定理.md",
-    "测度论与概率论/Lebesgue-integral.md",
-    "测度论与概率论/L-S-measure.md",
-    "测度论与概率论/measurable-func.md",
-    "测度论与概率论/measurable-mapping.md"
+    "故事/判断力批判.md"
   ]
 }
@@ -48,6 +48,8 @@ $$S_N = \sum_{n=1}^N \left( f^+(g(n)) - f^-(g(n)) \right) = \sum_{n=1}^N f^+(g(n
 - $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N f^+(g(n)) = \sum_{x \in X} f^+(x) = L^+$
 - $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N f^-(g(n)) = \sum_{x \in X} f^-(x) = L^-$
 
+知：$S_N$极限存在。
+
 由极限的线性性质（有限实数减法法则）：
 $$\lim_{N \to \infty} S_N = L^+ - L^- = \sum_{x \in X} f^+(x) - \sum_{x \in X} f^-(x)$$
 
@@ -66,6 +68,8 @@ $$S_N = \sum_{n=1}^N f^+(g(n)) - \sum_{n=1}^N f^-(g(n)) \geq \left( \sum_{n=1}^N
 考察非负部分 $f^+$。由于 $g$ 是双射且 $\sum_{x \in X} f^+(x) = +\infty$，根据非负项级数的性质（其部分和序列单调递增）：
 $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N f^+(g(n)) = \sup_{K \subset X, |K|<\infty} \sum_{x \in K} f^+(x) = +\infty$$
 
+知：$S_N$极限存在。
+
 利用扩展实数的运算性质，若 $A_N \to +\infty$ 且 $B_N \leq L$（$L$ 为常数），则：
 $$\lim_{N \to \infty} S_N \geq \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{n=1}^N f^+(g(n)) - L \right) = (+\infty) - L = +\infty$$
 同理可证 $\sum f^+ < \infty, \sum f^- = \infty$ 时极限为 $-\infty$。
 
@@ -10,12 +10,11 @@ title: Lebesgue 积分（L积分）
 
 ## 前置
 
--
 - [[测度论与概率论/almost-everywhere]]
 
 ## 非负简单可测函数的$L$积分
 
-设$f=\sum_{i=1}^{n} a_i I_{A_i} \in S^+(\Omega, \mathcal{F})$, 称广义实数$\sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i)$为$f$的**$L$积分**，记作$\int f d\mu$或$\mu(f)$。
+设$f=\sum_{i=1}^{n} a_i I_{A_i} \in S^+(\Omega, \mathcal{F})$, 称广义实数$\sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i)$为$f$的**L积分**，记作$\int f d\mu$或$\mu(f)$。
 
 $\int f d\mu$与$f$的表示形式无关。
 
@@ -107,3 +106,5 @@ $\mathbf{f}$可积 $\iff$ $Re\mathbf{f},Im\mathbf{f}$都可积$\iff |\mathbf{f}|
     - $f$可积
     - $\sum_{i=1}^{\infty} n \mu(n \leq |f| < n+1) < +\infty$
     - $\sum_{i=1}^{\infty} \mu(|f| \geq n) < +\infty$
+15. 若设$f \in \overline{\mathcal{L}}(\Omega, \mathcal{F})$ 的积分存在，且恒非负（或恒非正），$c \in \overline{\mathbb{R}}$,则$cf$积分存在，且$\int cf=c\int f$
+16. $A \in \mathcal{F}, \int I_A=\mu(A)$
@@ -0,0 +1,15 @@
+---
+title: 符号测度与 Hahn-J ordan 分解
+---
+
+## 前置
+
+- [[测度论与概率论/Stieltjes_integral]]
+
+## 定义
+
+- 设 $f \in \overline{\mathcal{L}}(\Omega, \mathcal{F})$ 关于 $\mu$ 的积分存在, 称如下定义的广义实值集函数
+$$\nu(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu, \quad A \in \mathcal{F}$$
+为 $f$ 关于 $\mu$ 的**不定积分** (indefinite integral), 记作 $\nu = f \cdot \mu$
+
+## 性质