Problem 2 — 丘成桐大学生数学竞赛 2025（分析与微分方程） (1) 证明对 $n \geq 3$ ，存在常数 $C > 0$ 使得
$$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2},dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2,dx, \quad \forall, u \in H^1(\mathbb{R}^n).$$
(2) 证明最优常数 $C = \dfrac{4}{(n-2)^2}$ 。
本题涉及的核心概念：
对 $u \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ ，作变量代换 $f(r) = u(r\omega)$ （极坐标分解），然后令 $f = r^{-(n-2)/2}g$ ，通过积分分部将交叉项消去，得到 $\int f'^2 \cdot r^{n-1}$ 与 $\int f^2/r^2 \cdot r^{n-1}$ 之间的精确等式，进而得出不等式。最后由 $C_c^\infty$ 在 $H^1$ 中的稠密性推广。
步骤 1：极坐标分解
对 $u \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ ，在极坐标 $x = r\omega$ （$r = |x|$，$\omega \in S^{n-1}$）下，记 $f(r, \omega) = u(r\omega)$ 。由于 $|\nabla u|^2 \geq |\partial_r u|^2$ （梯度范数不小于径向导数范数），有
$$\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2,dx \geq \int_0^\infty \int_{S^{n-1}} |\partial_r u|^2,r^{n-1},d\sigma,dr.$$
因此只需对每个固定方向 $\omega$ ，证明一维加权 Hardy 不等式即可。
步骤 2：变量代换 $f = r^{-(n-2)/2} g$
对固定 $\omega$ ，简记 $f(r) = u(r\omega)$ ，令
$$g(r) = r^{(n-2)/2} f(r), \quad \text{即} \quad f(r) = r^{-(n-2)/2} g(r).$$
计算导数：
$$f' = r^{-(n-2)/2}\left[g' - \frac{n-2}{2r},g\right].$$
因此
$$f'^2 = r^{-(n-2)}\left[g'^2 - \frac{n-2}{r},g,g' + \frac{(n-2)^2}{4r^2},g^2\right].$$
步骤 3：计算加权积分
乘以 $r^{n-1}$ 并积分：
$$\int_0^\infty f'^2,r^{n-1},dr = \underbrace{\int_0^\infty g'^2,r,dr}_{I_1} - \underbrace{(n-2)\int_0^\infty g,g',dr}_{I_2} + \underbrace{\frac{(n-2)^2}{4}\int_0^\infty \frac{g^2}{r},dr}_{I_3}.$$
交叉项 $I_2$ 的处理 ：由分部积分，
$$\int_0^\infty g,g',dr = \frac{1}{2}\bigl[g^2\bigr]_0^\infty.$$
需要验证边界项为零：
当 $r \to \infty$ ：$g = r^{(n-2)/2} f$，而 $f(r) = u(r\omega)$ 具紧支集，故 $g(\infty) = 0$ 。
当 $r \to 0^+$ ：$g = r^{(n-2)/2} f$，$f$ 光滑故 $f(0)$ 有限，而 $n \geq 3$ 蕴含 $(n-2)/2 > 0$ ，故 $g(0) = 0$ 。
因此 $I_2 = 0$ 。
$I_3$ 的改写$f^2/r^2 = r^{-(n-2)} g^2/r^2 \cdot r^{n-1} \cdot r^{-(n-1)} \cdot r^2 = g^2/r \cdot r^{-(n-2)} \cdot r^{n-1}/r^{n-1}$ ... 直接计算：
$$\int_0^\infty \frac{f^2}{r^2},r^{n-1},dr = \int_0^\infty r^{-(n-2)}\frac{g^2}{r^2},r^{n-1},dr = \int_0^\infty \frac{g^2}{r},dr.$$
所以 $I_3 = \dfrac{(n-2)^2}{4} \displaystyle\int_0^\infty \frac{f^2}{r^2},r^{n-1},dr$ 。
步骤 4：得到精确等式
综上：
$$\int_0^\infty f'^2,r^{n-1},dr = \int_0^\infty g'^2,r,dr + \frac{(n-2)^2}{4}\int_0^\infty \frac{f^2}{r^2},r^{n-1},dr.$$
由于 $I_1 = \int_0^\infty g'^2,r,dr \geq 0$ ，立即得到
$$\int_0^\infty \frac{f^2}{r^2},r^{n-1},dr \leq \frac{4}{(n-2)^2}\int_0^\infty f'^2,r^{n-1},dr.$$
步骤 5：积分回 $\mathbb{R}^n$
对 $\omega \in S^{n-1}$ 积分：
$$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2},dx \leq \frac{4}{(n-2)^2}\int_{\mathbb{R}^n} \left|\frac{\partial u}{\partial r}\right|^2 dx \leq \frac{4}{(n-2)^2}\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2,dx.$$
步骤 6：由稠密性推广到 $H^1(\mathbb{R}^n)$
对任意 $u \in H^1(\mathbb{R}^n)$ ，取 $C_c^\infty$ 序列 ${u_k}$ 使 $u_k \to u$ 在 $H^1$ 中。由已证的不等式，${u_k/|x|}$ 在 $L^2$ 中是 Cauchy 列，故 $u/|x| \in L^2$ 且不等式对 $u$ 成立（取极限，由实分析(5)控制收敛定理 保证极限可穿过积分号）。
$\blacksquare$
(2) 证明最优常数为 $C = \dfrac{4}{(n-2)^2}$
构造一族测试函数 $u_\varepsilon$ ，使得当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，比值 $\dfrac{\int u_\varepsilon^2/|x|^2,dx}{\int |\nabla u_\varepsilon|^2,dx}$ 趋于 $\dfrac{4}{(n-2)^2}$ ，从而证明常数无法改进。
步骤 1：构造测试函数
取光滑截断函数 $\eta \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ ，满足 $\eta = 1$ 在 $B_1 = {|x| \leq 1}$ 上，$\eta = 0$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus B_2$ 上，$0 \leq \eta \leq 1$。
对 $\varepsilon > 0$ ，定义
$$u_\varepsilon(x) = |x|^{-(n-2)/2 + \varepsilon},\eta(x).$$
由于 $-(n-2)/2 + \varepsilon > -(n-2)/2 > -n/2$ （$n \geq 3$），$u_\varepsilon \in L^2_{\mathrm{loc}}$；且 $\nabla u_\varepsilon \in L^2_{\mathrm{loc}}$ ，故 $u_\varepsilon \in H^1(\mathbb{R}^n)$ ，可由 $C_c^\infty$ 函数逼近。
步骤 2：计算 $B_1$ 上的积分
在 $B_1$ 上 $\eta = 1$ ，$u_\varepsilon = r^{-(n-2)/2+\varepsilon}$，$|\nabla u_\varepsilon| = \left(\frac{n-2}{2} - \varepsilon\right) r^{-(n-2)/2+\varepsilon-1}$。
$$\int_{B_1} \frac{u_\varepsilon^2}{|x|^2},dx = \omega_n \int_0^1 r^{-2+(n-2)-2\varepsilon... }$$
直接计算：$u_\varepsilon^2/|x|^2 = r^{2\varepsilon - (n-2) - 2}$，乘以 $r^{n-1}$ 得 $r^{2\varepsilon - 1}$ ，故
$$A_\varepsilon := \int_{B_1} \frac{u_\varepsilon^2}{|x|^2},dx = \omega_n \int_0^1 r^{2\varepsilon - 1},dr = \frac{\omega_n}{2\varepsilon}.$$
$$B_\varepsilon := \int_{B_1} |\nabla u_\varepsilon|^2,dx = \omega_n\left(\frac{n-2}{2} - \varepsilon\right)^2 \int_0^1 r^{2\varepsilon - 1},dr = \frac{\omega_n}{2\varepsilon}\left(\frac{n-2}{2} - \varepsilon\right)^2.$$
因此在 $B_1$ 上：
$$\frac{A_\varepsilon}{B_\varepsilon} = \frac{1}{\left(\frac{n-2}{2} - \varepsilon\right)^2}.$$
步骤 3：过渡区域的贡献是低阶的
在 $B_2 \setminus B_1$ 上，$\eta$ 从 $1$ 过渡到 $0$ ，$u_\varepsilon$ 和 $\nabla u_\varepsilon$ 都有界。故
$$\int_{B_2 \setminus B_1} \frac{u_\varepsilon^2}{|x|^2},dx = O(1), \quad \int_{B_2 \setminus B_1} |\nabla u_\varepsilon|^2,dx = O(1),$$
而 $A_\varepsilon, B_\varepsilon = O(1/\varepsilon) \to \infty$ 。因此过渡区域的贡献在 $\varepsilon \to 0^+$ 时可以忽略。
步骤 4：取极限
$$\frac{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u_\varepsilon^2}{|x|^2},dx}{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u_\varepsilon|^2,dx} = \frac{A_\varepsilon + O(1)}{B_\varepsilon + O(1)} = \frac{\frac{\omega_n}{2\varepsilon} + O(1)}{\frac{\omega_n}{2\varepsilon}\left(\frac{n-2}{2} - \varepsilon\right)^2 + O(1)} \xrightarrow{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{\left(\frac{n-2}{2}\right)^2} = \frac{4}{(n-2)^2}.$$
这意味着：若 Hardy 不等式中的常数 $C < 4/(n-2)^2$ ，则当 $\varepsilon$ 充分小时不等式被 $u_\varepsilon$ 违反。因此 $4/(n-2)^2$ 是最优常数。
$\blacksquare$
注记：基态表示（Ground State Representation） 第 (1) 部分的证明实际上给出了比 Hardy 不等式更强的等式：
$$\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2,dx = \int_{\mathbb{R}^n} \left|\nabla!\left(|x|^{(n-2)/2}u\right)\right|^2 |x|^{-(n-2)},dx + \frac{(n-2)^2}{4}\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2},dx.$$
这称为 基态表示 $\int|\nabla u|^2$ 中属于 Hardy 项的部分和剩余部分，说明 Hardy 不等式之所以不能取等（对非零 $u$ ），正是因为剩余项 $\int|\nabla(|x|^{(n-2)/2}u)|^2 |x|^{-(n-2)} > 0$ 。
等号成立的"极限情形"对应 $|x|^{(n-2)/2}u = \text{const}$ ，即 $u = c \cdot |x|^{-(n-2)/2}$ ，但此函数不属于 $H^1(\mathbb{R}^n)$ ——这也解释了为什么最优常数只能被逼近而不能被达到。